Корисні поради

Як обчислити умовно нараховується відсоток

Pin
Send
Share
Send
Send


Нехай річна ставка складних відсотків дорівнює j , А число періодів нарахування в році m . Тоді кожен раз відсотки нараховують за ставкою j / m . ставка j називається номінальною. Нарахування відсотків за номінальною ставкою здійснюється за формулою:

(1)

де N - загальне число періодів нарахування.

Якщо термін позики вимірюється дробовим числом періодів нарахування, то при т разовому нарахуванні відсотків на рік нарощену суму можна розраховувати декількома способами, що приводять до різних результатів.

У банк вкладені гроші в сумі 5 тис. Р. на два роки з піврічним нарахуванням складних відсотків за ставкою 20% річних. Визначити нарощену суму і порівняти її з випадком, якщо відсотки нараховуються щоквартально.

Визначимо нарощену суму при піврічному нарахуванні відсотків за формулою (1):

= 5 × (1 + 0,2 / 2) 4 = 7,3205 тис. Р.

Якщо нарахування буде проводитися щоквартально, то сума до кінця двох років складе:

S = 5 × (1 + 0,2 / 4) 8 = 7,387 тис. Р.

Нарощена сума при піврічному нарахуванні відсотків до кінця двох років складе 7,3205 тис. Р., А при щоквартальному - 7,387 тис. Р.

Крім того, можна зробити наступні висновки:

- чим частіше протягом року відбувається нарахування по складних процентах, тим більше нарощена сума,

- при нарахуванні складних відсотків 12% річних нееквівалентно 1% в місяць,

- для простих відсотків ці висновки недійсні. Одне з характерних властивостей нарощення за простими відсоткам полягає в тому, що нарощена сума не залежить від частоти нарахування простих відсотків. Наприклад, нарощення простими відсотками щорічно за ставкою 12% річних дає той же результат, що і щомісячне нарощення протягом року за ставкою 1% в місяць.

- при нарощенні за складними відсотками щомісячне нарахування приносить більший результат, ніж щорічне один раз.

Розмір позики 500 тис. Р., Вона надана на 28 місяців. Номінальна ставка дорівнює 20% складних річних. Нарахування відсотків щоквартальне. Обчислити нарощену суму в трьох ситуаціях:

- коли на дробову частину нараховуються складні відсотки,

- коли на дробову частину нараховуються прості відсотки,

- коли дрібна частина не враховується.

Результати розрахунків порівняти.

Нарахування відсотків щоквартальне. Всього є 28/3 кварталів.

Визначимо нарощену суму, коли на дробову частину нараховуються складні відсотки:

S = 20 (1 + 0,6 / 4) 28/3 = 73,713 тис. Р.

Обчислимо нарощену суму, коли на цілу частину року нараховуються складні відсотки, а на дробову частину нараховуються прості відсотки:

S = 20 (1 + 0,6 / 4) 9 (1 + 0,6 / 4 × 1/3) = 73,875 тис. Р.

Знайдемо нарощену суму, коли дрібна частина року не враховується:

S = 20 (l + 0,6 / 4) 9 = 70,358 тис. Р.

Нарощені суми в трьох розглянутих випадках складають 73, 713 тис. Р., 73,875 тис. Р., 70,358 тис. Р.

З отриманих результатів розрахунку слід, що найбільшого значення нарощена сума досягає в другому випадку, тобто при нарахуванні на дробову частина простих відсотків, найменше значення - в третьому випадку, коли нарощення дробової частини року не враховується.

2.2. Нарощення процентовm раз на рік. Номінальна і ефективна ставки відсотків.

Номінальна ставка. Відсотки, як правило, капіталізуються не один, а кілька разів на рік - по півріччях, кварталах і т.д. При нарахуванні відсотків кілька разів на рік можна скористатися формулою (2.1). параметр n в цих умовах буде означати число періодів нарахування, а під ставкою i слід розуміти ставку за відповідний період. На практиці, як правило, в контрактах фіксується ставка за період нарахування, а річна ставка, одночасно вказується період нарахування відсотків. Наприклад, "18% річних з щомісячним нарахуванням відсотків".

Нехай річна ставка складних відсотків дорівнює j, Число періодів нарахування на рік - m. Тоді кожен раз відсотки нараховуються за ставкою j/m. ставка j називається номінальної. Нарахування відсотків за номінальною ставкою здійснюється за формулою

де N - число періодів нарахування (N=nm).

Приклад 12. Позика величиною 10000 рублів видана на 2 роки. Номінальна ставка складних відсотків - 14% річних. Визначити суму накопиченого боргу, якщо нарахування відсотків здійснюється: (1) раз на рік, (2) раз в півріччя, (3) раз в квартал.

(3) m= 4, j /m=0,14/4=0,035, N=2·4=8. S= 10000 · (1 + 0,035) 8 = 10000 · 1,3168 = 13168 руб.

Як видно з наведеного вище прикладу, при одній і тій же номінальній процентній ставці, але різній частоті нарахування відсотків результати відрізняються: чим частіше нараховуються відсотки, тим швидше йде процес нарощення. З цієї причини номінальна процентна ставка не може служити універсальним показником ефективності фінансових операцій.

Ефективна ставка. Ця ставка вимірює той реальний відносний дохід, який отримують в цілому за рік. Тобто ефективна ставка - це річна ставка складних відсотків, яка дає той же результат, що і mразове нарахування відсотків за ставкою j/m.

Позначимо ефективну ставку через iе. Якщо відсотки капіталізуються m раз на рік, кожен раз зі ставкою j/m, То, за визначенням, можна записати рівність для відповідних множників нарощення:

де iе - ефективна ставка, а j - номінальна. Звідси отримуємо, що зв'язок між ефективною і номінальною ставками виражається співвідношенням

Зворотна залежність має вигляд

j=m((1+iе) 1/ m -1)= .

Треба зауважити, що при m> 1 ефективна ставка більше номінальної.

Заміна в договорі номінальної ставки j при mразове нарахування відсотків на ефективну ставку iе не змінює фінансових зобов'язань сторін-учасниць. Обидві ставки еквівалентні в фінансовому відношенні.

Приклад 13. Розрахувати ефективні процентні ставки для прикладу 12 і знайти накопичену суму боргу.

(3) m=4, iе= (1 + 0,14 / 4) 4 -1 = 0,1475 або 14,75%. S= 10000 · 1,1475 2 = 13168 руб.

Приклад 14. Визначити, якою має бути номінальна ставка при щоквартальному нарахуванні відсотків, щоб забезпечити ефективну ставку 12% річних.

Нарахування відсотків при дробовому числі років. Часто термін позики вимірюється дробовим числом періодів нарахування. В цьому випадку при mразове нарахування відсотків на рік нарощену суму можна розраховувати декількома способами, що приводять до різних результатів:

За формулою (2.2) складних відсотків (загальний метод)

де N - число (можливо дробове) періодів нарахування,

На основі змішаного методу, який передбачає нарахування процентів за цілу кількість років за формулою складних відсотків, за дробову частину терміну - за формулою простих відсотків:

де a - ціле число періодів нарахування (a=N - ціла частина числа N), b - залишилася дрібна частина (b=N-a),

У правилах ряду комерційних банків для деяких операцій відсотки нараховуються тільки за ціле число років або інших періодів нарахування. Дрібна частина періоду відкидається.

Приклад 15. Розмір позики 20 тис. Ден. од., яка надана на 28 місяців. Номінальна ставка дорівнює 60% річних. Нарахування відсотків щоквартальне. Обчислити нарощену суму в трьох ситуаціях: 1) дрібна частина ігнорується, 2) на дробову частину нараховуються складні відсотки, 3) на дробову частину нараховуються прості відсотки.

Рішення. Нарахування відсотків щоквартальне. Усього є 28/3 = кварталів.

1) S= 20 · (1 + 0,6 / 4) 9 = 20 · 1,15 9 = 20 · 3,5179 = 70,358 тис. Ден. од.,

2) = 20 · 3,6856 = 73,713 тис. Ден. од.,

3) S= 20 · (1 + 0,60 / 4) 9 · (1+ (1/3) · (0,6 / 4)) = 20 · 3,5179 · 1,05 = 73,876 тис. Ден. од.

З зіставлення нарощених сум бачимо, що найбільшого значення вона досягає в третьому випадку, тобто при застосуванні змішаного методу.

Pin
Send
Share
Send
Send